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抽象地说, 所谓计算, 就是从一个符号串f 变换成另一个符号串g 。比如说, 从符号串1 2 + 3 变换成1 5 就是一个加法计算。如果符号串f 是x2,而符号串g 是2x,从f 到g 的计算就是微分。定理证明也是如此, 令f 表示一组公理和推导规则, 令g 是一个定理, 那么从f 到g 的一系列变换就是定理g的证明。从这个角度看, 文字翻译也是计算, 如f 代表一个英文句子, 而g 为含意相同的中文句子, 那么从f 到g 就是把英文翻译成中文。这些变换间有什么共同点?为什么把它们都叫做计算?因为它们都是从己知符号( 串) 开始, 一步一步地改变符号( 串) , 经过有限步骤, 最后得到一个满足预先规定的符号( 串) 的变换过程。


  从类型上讲, 计算主要有两大类: 数值计算和符号推导。数值计算包括实数和函数的加减乘除、幂运算、开方运算、方程的求解等。符号推导包括代数与各种函数的恒等式、不等式的证明, 几何命题的证明等。但无论是数值计算还是符号推导,它们在本质上是等价的、一致的, 即二者是密切关联的, 可以相互转化, 具有共同的计算本质。随着数学的不断发展, 还可能出现新的计算类型。


  2 远古的计算工具


  人们从开始产生计算之日, 便不断寻求能方便进行和加速计算的工具。因此,计算和计算工具是息息相关的。


  早在公元前5 世纪, 中国人已开始用算筹作为计算工具, 并在公元前3 世


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